Page 70 - 4363

u  2u u  2u  u
i , j 1 i , j 1  a 2 i , 1 j i , j i , 1 j (7.5)
 2 h 2
Розв’язуючи рівняння (7.6) щодо єдиного невідомого
значення u , отримуємо наступну схему:
i , j 1
u  1 ( 2  )u   (u  u )  u (7.6)
i , j 1 , i 1  j  i , 1 j i , 1  j i , j 1
2
1 a 2t 2 / h , i 1 ,..., n , 1 j  1 ,..., m 1
Схема (6) називається тришаровою тому, що пов'язує
між собою значення u функції u (x, t) на трьох часових
i, j
шарах з номерами: j - 1, j, j + 1. Схема (6) є явною, тобто
дозволяє в явному вигляді виразити u через значення u з
i, j
попередніх двох шарів.
Для початку розрахунки за схемою (7.6) необхідні
значення u функції u (x, t) на нульовому (j = 0) і першому (j
i, j
= 1) часових шарах. Вони визначаються початковими умовами
(7.3) і записуються у вигляді:
u  u
u   (x ) , 1 , i 0 , i   (x )  u  u   (x ), (7.7)
0 , i i i 1 , i 0 , i i

i  1 , 0 ,..., n
Граничні умови (4) також записуються в сітковому
вигляді:
u   (t ), u   (t ) , j  1 , 0 ,...,m . (7.8)
, 0 j 1 j n , j 2 j
Таким чином, розв’язок вихідної диференціальної задачі
(7.2) - (7.4) зводиться до розв’язання різницевої задачі (7.6) -
(7.8). Схема стійка, якщо виконана умова Куранта a / h . 1
Параболічні рівняння в частинних похідних
Найпростішим видом рівняння параболічного типу є
рівняння теплопровідності, або рівняння Фур'є. До
дослідження рівняння теплопровідності, або рівняння Фур'є,
призводить розгляд процесів розповсюдження тепла,

68