Page 8 - 4286

К.У.
на верхній та бічних
 U  0 сторонах квадрата

 U  ,(x ) 0 sin( x ), 0  x  ,1 y  0

Побудуємо в площині  yx, сітку, як показано на рис. 1.
Зручно перейти до таких позначень:

U( x, y ) U ,
ij
U( x, y  k)  U i j , 1 ,

U( x, y  k)  U i j , 1 ,
U (  hx , y ) U , i 1  j ,

U (  hx , y ) U i , j 1 ,

' 1
U x (x , y )  (U i , j 1 U i , j 1 ) ,
2h

' 1
U y (x , ) y  (U i , 1 j  U i , 1 j ) ,
2k
' ' 1
U xx (x , y )  (U i , j 1  2U ij U i , j 1 ) ,
h 2

' ' 1
U yy (x , ) y  (U i , 1 j  2U  U i , 1 j ) ,
ij
k 2

Основна ідея розв’язку задачі Діріхле базується на заміні
частинних похідних в рівнянні Лапласа

U  U xx ' ' U yy ' '  0

їх скінченно-різницевими аналогами. Зробивши це і
скориставшись компактними позначеннями, одержимо різницеве
рівняння

7