Page 6 - 4286

систему n алгебраїчних рівнянь з n невідомими. На останньому
етапі здобуту систему розв’язують одним із чисельних методів.
Зупинимось докладніше на понятті скінченних різниць, а далі
покажемо, як за їх допомогою розв’язати задачу Діріхле у
квадраті. Згадаємо ряд Тейлора для функції (xf )
(   f ) x 2
f ( hx )  f (x ) f (  x ) h h  ...
! 2

Якщо обірвати цей ряд на другому члені, то одержимо

f x (  h)  f ( x)  f (  x) h ,

звідки
f x (  h)  f ( x)
f (  x)  . )1(
h

Вираз, що стоїть у правій частині, називається правою
різницевою похідною. Вона апроксимує першу похідну f  (x )
точці x . У розкладі Тейлора для функції (xf ) можна замінити h
на h і одержати ліву різницеву похідну

f ( x)  f x (  h)
f (  x)  . ) 2 (
h

Додаючи (1) і (2), одержимо центральну різницеву похідну

1
f  (x )   (xf  ) h  f (x   ) h
2h

Якщо в ряді Тейлора залишити на один доданок більше, то
зовсім аналогічно можна одержати центральну різницеву похідну
для апроксимації f  (x )
1
f  (x )   (xf  ) h  2 f (x )  f (x   ) h
h 2

5