Page 7 - 4286

Тепер можна поширити поняття скінченно-різницевої
апроксимації на частинні похідні. Якщо виходити із розкладу
Тейлора для функції двох змінних

' ' ' h 2
U (  hx , y ) U (x , y ) U x (x , y ) Uh xx (x , ) y  ...,
! 2

' ' ' h 2
U (  hx , y ) U (x , y ) U x (x , y ) Uh xx (x , ) y  ...,
! 2

можна одержати наступні апроксимації частинних похідних

'
U ( x, y)  U x (  h, y)  U ( x, y) ,
x
h
' ' 1
U xx (x , ) y   (xU  , h ) y  2U (x , y ) U (x  , h  ) y ,
h 2

'
U ( x, y)  U( x, y  k)  U( x, y) ,
y
k
' ' 1
U yy (x , ) y   ( yxU ,  ) k  2U (x , y ) U (x , y   ) k ,
k 2

де h – крок дискретизації вздовж осі ox
k – крок дискретизації вздовж осі oy .

Щоб познайомитись з основними правилами використання
скінченно-різницевих апроксимацій, розглянемо просту задачу
Діріхле.
Нехай необхідно розв'язати задачу Діріхле для рівняння
Лапласа
' '
' '
U xx U yy  0 )3(

у квадраті 0  x  1, 0  y  1з крайовими умовами:

6