Page 5 - 4286

ВСТУП

Інженерові дуже часто доводиться стикатися з задачами, у
яких шукана величина залежить від кількох змінних. У цьому
випадку рівняння, що розв'язуються, містять частинні похідні і
називаються диференціальними рівняннями з частинними
похідними.
Нажаль, дуже багато цих рівнянь не мають аналітичного
розв'язку, і щоб їх розв’язати доцільно звернутися до чисельних
методів [I, 2, 4]. Наближені методи розв’язування, в яких
використовуються обчислювальні цикли однакової структури,
грають дуже важливу роль у прикладній математиці, бо вони
легко реалізуються на ЕОМ. Якщо для розв’язування звичайних
диференціальних рівнянь існує багато різних методів, то для
розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними
серед методів, орієнтованих на ЕОМ, найбільшого поширення
дістали метод скінченних різниць /МСР/ і метод скінченних
елементів /МСЕ/.
Цей методичний посібник містить переказ методу сіток/MCP/
для рівняння Лапласа, що моделює стаціонарні температурні
процеси, безвихрову течію ідеальної рідини та ін.
Запропоновані також нові моделі дискретизації
досліджуваної області. Вони зображені за допомогою спрощеної
обчислювальної схеми MCE – способу обертання симплекса
/СОС/. Цей спосіб дозволяє швидко і дуже просто розв’язувати
задачі Діріхле як для рівняння Лапласа, так і для рівняння
Пуасона /наприклад, температурна задача з джерелом або
стоком/.
У кінці посібника додаються варіанти завдань для типового
розрахунку до розділу "Математичні моделі в розрахунках на
ЕОМ”.

1 Розв’язування рівняння Лапласа методом скінченних
різниць

В основі розв’язування рівнянь з частинними похідними МСР
лежить скінченно-різницева апроксимація похідних, яка
здійснюється в три етапи [6]. Спочатку в досліджуваній області
рішення вводять рівномірну сітку „вузлових точок” відповідно
характеру задачі і крайовим умовам. Потім рівняння з
частинними похідними записують у найбільш зручній системі
координат і, зображаючи похідні в скінченно-різницевій формі,
зводять його до вигляду різницевого рівняння. Здобуте різницеве
рівняння записують для усіх вузлів сітки і внаслідок дістають
4