Page 53 - 4135

Замiнюючи змiнну t = x/x з (2.24), одержимо полiноми,
ортогональнi на дискретнiй множинi х =х, 2х,..., N  Nх,
що необхiдно при розв’язаннi задачi:

1
   1,x      /x  x   x  N   1 ,
0 1
2 (2.25)
2 1
    /x  x   x   N   1 x / x  N  1 N   2 .
2
6

Тодi шукану функцiю (x) для кожного моменту часу
виразимо через ортогональнi полiноми (2.25):

 ( )x     ( )x   ( )x 
0
2 2
1 1
 1 2 2 x 1  (2.26)
  / x   N   1  x  / x  N   1   N  1  N   2 .
x
0 1  2  
 2  x 6 

Застосувавши до спiввiдношення (2.26) метод най-
менших квадратiв, маємо:

N x
      x      x     x   i   x  0, i  0,1,2
2 2
0
1 1
x x

або, використовуючи властивiсть ортогональностi:

N x N x
 i   i 2   x     ,x  i  ,x i  0,1,2. (2.27)
x x x x

Отже, застосування ортогональних полiномiв позбавляє
необхiдностi розв’язувати системи лiнiйних рiвнянь, якi в
цьому випадку розпадаються на окремi рiвняння.
З (2.26) маємо:

2
  2  x  2 N   1   2 .
 1  2  ,  2 . (2.28)
x   x  x 2  x x  2  x 2

Аналогiчно знаходять коефiцiєнти апроксимуючих полі-
номiв для виразу похiдних для решти шуканих функцiй.

50