Page 43 - 2589

1

 асиметричним, якщо A  A , тобто із двох
співвідношень Axx й x Ax щонайменше одне не виконується.
i j j i
Як приклад такого відношення можна навести відношення «бути

батьком» у множині людей, відношення строгого включення в
множині всіх підмножин деякого універсуму. Очевидно, якщо
відношення асиметричне, то воно й антирефлексивне;
1
 антисиметричним, якщо A A  E тобто обидва
співвідношення x Ax та x Ax одночасно виконуються тоді й
i j j i
тільки тоді, коли x  x . Як приклад можна навести нестрогу
i j
Z
нерівність  ,  на N, та R.
 транзитивним, якщо A A  A, тобто з виконання

співвідношень Axx й Axx випливає виконання співвідношення
i j j k
x Ax . Як приклад можна навести відношення «бути дільником»
i k
у Z , «бути старшим» у множині людей.

Приклад 3.13: Задано бінарне відношення
R={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)},

на множині M  } 4 , 3 , 2 , 1 { . Чи є воно рефлексивним, симетричним,
антисиметричним, транзитивним? Знайти область визначення

1

D 0 (R ), область значень D з (R ), зворотне відношення R , перетин

1
і об'єднання відношень R і R .
Розв’язок.
Відношення R, задане на множині M , називається
рефлексивним, якщо для всякого x з цієї множини xRx істинно.
Задане відношення не є рефлексивним, оскільки немає пар (2,2) і
(3,3).

Відношення R, задане на множині M називається
симетричним, якщо на цій множині справедливо xRy  yRx.

Задане відношення не є симетричним, оскільки, наприклад, пара
) 2 , 1 (  R , а ,2( ) 1  R .

Відношення R, задане на множині M називається
y
антисиметричним, якщо на цій множині з xRy і yRx слідує x  .
Задане відношення не є антисиметричним, оскільки йому
належать пари (1,4) і (4,1), але 14.

Відношення R, задане на множині M називається

антирефлексивним, якщо для будь-якого x M , xRx - хибне.
Задане відношення не антирефлексивне, оскільки існують пари
(1,1) і (4,4).

43