Page 205 - 2589

8.3 Розв’язок рівняння стану високого порядку.

Широкий клас систем описуються лінійними
нестаціонарними рівняннями стану (7.3)

x  (t ) A (t )x (t ) B (t )u (t ),
(7.6)
y (t ) C (t )x (t ) D (t )u (t ).

Крім цього, для розв’язку багатьох задач є можливість
апроксимувати такими рівняннями і інші типи систем. Тому є
необхідність розв’язку лінійних нестаціонарних рівнянь стану.

Як і у випадку систем першого порядку, доцільно спочатку
дослідити однорідне рівняння, яке відповідає випадку ( tu ) 0,

тобто реакції системи на нульовий вхідний вплив.
x  (t )  A (t )x (t ). (7.7)

Тривіальним розв’язком цього рівняння є нульовий вектор
тобто x  .
0
Очевидно, що для ненульового початку стану тут має бути
нетривіальний розв’язок.
В загальному випадку надзвичайно важко, а іноді і

неможливо, отримати в дійсному вигляді розв’язок лінійного
нестаціонарного рівняння стану (7.6).
По аналогії з системами першого порядку, де введено
поняття перехідної функції стану, для систем високого порядку

введено матрицю  , ttЦ , яка називається перехідною матрицею
0
стану і якій притаманні наступні властивості:

d
1) Ц  , tt  A (t )Ц , ( t t );
dt 0 0

2)  ,Ц t t  E .
0 0
Спочатку нічого не відомо відносно форми матриці  , ttЦ ,
0
однак треба постаратися з її допомогою знайти загальний
розв’язок лінійних рівнянь стану. Крім того, для даної лінійної

системи диференціальних рівнянь:
x    t  A (t )x (t )
з

( x t ) x
0 0
єдиний розв’язок для x виражається через матрицю  , ttЦ 0 

205