Page 66 - Лекція 6

Розв’язання. Підінтегральна функція на [-1;1] має розрив

другого роду в точці x=0.
1 0 1 0 1
dx dx dx lim dx lim dx

x 2 x 2 x 2 0 x 2 0 x 2
1 1 0 1 0
1
1 1 1
lim( ) lim( ) lim( 1) lim( 1 1 ) .
0 x 1 0 x 0 0

Інтеграл розбіжний.
1 xdx
Приклад 4. Дослідити на збіжність інтеграл 4 .

0 1 x
Розв’язання. Підінтегральна функція невизначена при x=1. Для
1
порівняння візьмемо функцію . Очевидно, що
1 x
x 1

1 x 4 1 x для x [0;1). Тоді:

1
1 1 2
dx 0
lim 1 x dx 2 lim 1 x 2 lim 1 2
1 x 0 0 1 0
0 0

тобто інтеграл збіжний. За ознакою порівняння інтеграл
1
xdx

0 1 x 4 збіжний.

Вправи.
а) Обчислити невластиві інтеграли:

1. e x dx . 2. xe x 2 dx .3. dx .
0 0 2 x x 2 1

Відповіді: 1) 1; 2) 0,5; 3) /6.

б) Дослідити на збіжність інтеграли:
1
xdx dx
1. x sin xdx . 2. . 3. .
x 2 1 e x 1
0 0
1 x dx 2 dx
2
4. . 5. .
3 2 5 3 2
0 1 ( x ) 0 x ( ) 1