Page 16 - Міністерство освіти і науки України

З використанням зазначених співвідношень різницеве
рівняння, що відповідає диференціальному рівнянню k-го
порядку, можна записати у вигляді
a k k y n a k 1 k 1 y n ... a 1 y n a 0 y n u n ,
де у п — шукана решітчаста функція, яка є розв'язком
різницевого рівняння; и п — відома решітчаста функція.
Диференціальне рівняння можна розглядати як гра-
ничний вираз різницевого рівняння, коли період квантування T 0
неперервного сигналу прямує до нуля.

1.8 Дискретне перетворення Лапласа і z-
перетворення

Зручним для розв язків різницевих рівнянь є
операційний метод, який оснований на дискретному
перетворенні Лапласа, яке представляє собою узагальнення
звичайного перетворення Лапласа на дискретні функції
(сигнали).
Звичайне пряме перетворення
t
X ( p) L[ x( t) x( t) e pt dt , (1.7)
0
де x(t) - неперервна функція-оригінал;
X(p) - зображення.
Імпульсний сигнал на виході найпростішого
імпульсного елемента можна представити у вигляді
промодульованої послідовності дельта-функцій:

x ( * ) t x (nT ) (t nT ). (1.8)
n 0
Таким чином, кожна ордината дискретної функції
представляє собою -функцію, площа якої визначається
функцією X(t). Тільки в цьому випадку існує формальна
відмінність між функціями X*(t) i X(nT). Але без нього
неможливо ввести поняття, зв язані із зображенням
дискретних сигналів.
Зображення сигналу X*(t) в значенні дискретного
перетворення Лапласа визначається по формулі:

X ( * ) p D [x ( * t )] x (nT )e pnT , (1.9)
n 0