Page 99 - 126

1 1
         cos 2    sin 2  . (3.15)
 x y x y xy
2 2
Стан тіла, що визначається формулами (3.11) – (3.13) звемо
двохвісним або плоским напруженим станом.

3.3.2 Поняття про головні напруження і головні
площинки.

Визначимо зараз поняття про так звані головні напруження,
як найбільше і найменше нормальне напруження в
площинках, в яких дотичні напруження рівні нулеві.
Задачу про відшукання площинок, для яких нормальні
напруження є екстремальними, математично можна
d 
розв’язати так: для цього слід взяти першу похідну  і
d 
прирівняти її нулеві
d   1 
 =-2      sin 2   cos 2   0 . (3.16)
d   2 
Порівнюючи цей вираз з формулою (3.14), приходимо до
наступної рівності
d 
 =-2 =0, (3.17)
d 
що засвідчує, до речі, такий цікавий факт: похідна від
нормального напруження по напряму нормалі до похилої
площинки дорівнює подвоєному дотичному напруженню по
цій же площинці, взятій з від’ємним знаком.
Із виразу (3.16) знаходиться кут , що відповідає
площинці, де головні напруження є максимальними
  2
tg2= xy . (3.18)
  
x y
Такі площинки звуться головними площинками. Щоб віднайти
головні напруження, що відповідають площинками (3.10),
згадаймо відому тригонометричну залежність і у виразах
1
(3.13) і (3.14) cos2 замінимо через  з
1 tg 2 2 
урахуванням залежності ( 3.19 ), що

164