Page 121 - 70

c
ділу, а в області x  – лінійною, тобто відповідає експоненціаль-
ному розподілу, який має суттєво “обважені” хвости в порівнянні із
гаусівським розподілом. Оцінка Хубера є розв’язком мінімальної за-
дачі: максимальна асимптотична дисперсія оцінки для класу “забру-
днених” гаусівських розподілів для неї досягає мінімуму. Вона є до-
сить стійкою до відхилень від гаусівського розподілу і має точку зри-
*
ву  ≈ 0,1 (це має місце при довільному “забруденні” вибірки).
Для розв’язку рівняння (4.17), яке визначає М-оцінку, частіше
використовують ітераційну схему Гауса–Н’ютона:
n n
a  i 1  a l   ш x i  a l  ш   x i  a l . (4.18)
 i 1  i 1
Зокрема, при використанні функції Хубера  сума в зна-
н
меннику правої частини рівняння (4.18) дорівнює кількості тих чле-
нів вибірки x , для яких виконується умова x  a  c . Якщо така
l
i
i
умова виконується для всіх x , то оцінка a l1  x .
i
За початкове наближення для ітераційної схеми рекоменду-
ється приймати медіану вибірки a  med , або іншу але просту і
0
стійку оцінку. В багатьох практичних задачах буває достатньо ви-
конати всього 1...3 ітерації згідно рівняння (4.18), щоб одержати за-
довільні оцінки.
Інша проста і зручна ітераційна схема для розв’язку рівняння
(4.17) одержується, якщо привести це рівняння до виду, аналогіч-
ного методу найменших квадратів з вагами
n
 il  x( i  a )  0 , (4.19)
l
 i 1
де множники  il  (x  a l ) / (x  a l ) аналогічні вагам в методі
i
i
найменших квадратів, але розраховуються на кожному кроці ітера-
ції. Тоді ітераційна схема має такий вид:
n n
a  l 1    il x i  . (4.20)
il
 i 1  i 1

159