Page 115 - 70

Приклад 4.4. Доказати, використовуючи метод найменших
квадратів, що середнє арифметичне значення результатів спосте-
режень, що описуються нормальним законом розподілу, є однією із
ефективних оцінок таких результатів спостережень.
2
n
Розглянемо вираз x  x  .

i
i 1
Вказана сума квадратів буде мінімальною, якщо буде викону-
ватися умова екстремуму, тобто якщо 1-а похідна вказаної суми
по x дорівнює 0, тобто

n 2
d  x   x
i
i 1 n
  2  x   x  . 0
i
d x   x i 1
i
Звідси знаходимо, що
1 n
x   x i .
n i1
Тобто середнє арифметичне значення x результатів спо-
стережень, що описуються нормальним законом розподілу, є ефек-
тивною оцінкою, так як вона задовольняє мінімальне значення суми
квадратів випадкових відхилень. Це означає, що якщо взяти за-
мість середнього арифметичного значення x деяке інше значення і
визначити суму квадратів значень відхилень від нього випадкових
результатів спостережень, то вона буде більшою, ніж сума квад-
ратів відхилень цих результатів спостережень від середнього ари-
фметичного значення x .

Суть методики перевірки відповідності експериментальних
даних конкретній теоретичній моделі чи її параметрам полягає в
наступному. Якщо по вибірці x , ..., x необхідно взнати, чи розпо-
1 n
діл вибірки результатів спостережень відповідає особливостям пев-
ного розподілу F(x), то слід сформулювати відповідну нульову гіпо-
тезу H щодо цього розподілу. Деколи гіпотеза H точно визначає
0
0
153