Page 111 - 70

Розглянемо основні методи визначення оцінок числових ха-
рактеристик результатів спостережень з врахуванням раніше вказа-
них вимог до них, а саме: незміщеності, ефективності і визначаль-
ності.
Широке використання з метою визначення оцінок знайшов
метод максимальної правдоподібності, який розроблений Р.Фіше-
ром і який приводить до асимптотично незміщених і ефективних
оцінок вибірок результатів спостережень з приблизно нормальним
розподілом.
Суть цього методу полягає в наступному. Багатомірна щіль-
ність розподілу ймовірності системи випадкових значень
p ( ,x 1 x 2 , ..., x n ) розглядається як функція числових характеристик
закону розподілу імовірності. Функція
2
L  p ( ,x 1 x 2 ,..., x n , x ,  x ,... ) , (4.7)
яка називається функцією правдоподібності, показує наскільки те
чи інше значення кожної числової характеристики є більш правдо-
подібним, ніж інше. Функція правдоподібності досягає максимуму
при значеннях змінних, які є найбільш ефективними оцінками.
Останні, відповідно, знаходять із умови

L  p( x 1 x , 2 ,..., x n , x ,  2 ,... ) max , (4.8)
x
що рівносильно сумісному розв’язку рівнянь

дL дL
 , 0  0. (4.9)
x д ду 2
х
Для спрощення розрахунків функцію правдоподібності деколи
логарифмують. Так як логарифм є монотонною функцією, то L i lnL
досягають екстремуму при одних і тих же значеннях змінних. Най-
більш ефективні оцінки числових характеристик, таким чином, також
можуть бути визначеними із сумісного розв’язку таких рівнянь:
д ln L д ln L
 , 0  0 . (4.10)
x д ду 2
х
Оцінки максимальної правдоподібності для найбільш важли-
вих розподілів приведені в табл. 4.1.

149