Page 26 - 6769

4.4 Метод Гауса - Жордана

Метод Гауса має багато модифікацій. Одна з модифікацій -
прагнення збільшити точність розрахунків при розв’язанні особливих
задач, коли методом Гауса не вдається розв’язати задачу з необхідною
точністю. Для досягнення максимальної точності застосовується
поняття головного елемента. Головним елементом на першому кроці
методу Гауса-Жордана вважають максимальний за модулем елемент
матриці A. В результаті дії наведеного вище алгоритму головний
елемент знаходиться на місці елемента . a 11 .
Виконуємо перший крок за методом Гауса.
Умовно виключаємо з області розгляду матриці A перший
рядок та стовпчик. В утвореній області в матриці, що залишилася,
знову знаходимо головний елемент і, переставляючи рядки та стовпці,
виводимо елемент на позицію елемента a .
22
Виконуємо другий крок за методом Гауса і т.д.
Практично ми проводимо розрахунки за методом Гауса, але на
кожному кроці перетворюємо матрицю A таким чином, щоб на місце
діагонального елемента вивести головний елемент.
Знаходимо головний елемент матриці A, який є на перетині
другого рядка та другого стовпчика, він дорівнює 4. Переставимо
місцями в матрицях А та B відповідно другий рядок з першим рядком,
а потім другий стовпчик з першим стовпчиком та другу змінну з
першою змінною. В результаті одержимо
4 − 3 0 i 2 10
1 1 1  i 1 = 0
0 − 3 0, 1 i 3 20
Виконавши перший крок за алгоритмом Гауса, одержимо
4 − 3 0 i 2 10
0 1, 75 1  i = − 2, 5 (4.14)
1
0 − 3 0, 1 i 3 20
Знаходимо головний елемент серед другого та третього рядків
матриці A, він дорівнює -3.Цей елемент матриці знаходиться на
перетині третього рядка та другого стовпчика. Поміняємо місцями в

26