Page 45 - 6505

Розглянемо більш загальний метод переходу від

рівняння ( ) = 0 до рівняння виду (5.4). Для цього помножимо
ліву і праву частини рівняння ( ) = 0 на константу ≠ 0 і

додамо до обидвох частин рівняння невідоме t, отримаємо:

+ ∙ ( ) = + 0 ∙ → = + ∙ ( ). (5.8)
Зауважимо, що при цьому шуканий корінь вхідного рівняння

не зміниться. Тобто рівняння (5.8) еквівалентне рівнянню (5.4) з

функцією ( ) = + ∙ ( ) . Довільний вибір константи
дозволяє забезпечити умову збіжності (5.7). Оскільки в даному

випадку ′( ) = 1 + ∙ ′( ), то значення для слід вибирати

таке, щоб біля кореня рівняння виконувалась умова
| ′( )| = |1 + ∙ ′( )| < 1.

Відзначимо, що графічне розв’язування рівняння (5.4)

визначає пошук абсциси точки перетину графіка функції
y= ( ) з прямою y=t (див. рисунок 5.6) . Виберемо початкове

наближення . Для побудови наступного наближення знайдемо

точку на графіку y= ( ) з абсцисою і проведемо пряму,
паралельну до осі абсцис, до перетину з прямою y=t. Оскільки

абсциса точки, що належить графіку функції y=t , дорівнює

ординаті, то абсциса отриманої точки дорівнює ( ) = .

Для показаного на рисунку 5.6 випадку взаємного

розташування ліній y = ( ) та = необмежене повторення

обчислень за формулою (5.6) дозволяє як завгодно близько підійти
до точного значення кореня рівняння (5.4).

Графічний алгоритм методу простої ітерації представлено на

рисунку 5.7.
Окремо зауважимо ,що особливістю методу простої ітерації є

“ненакопичення” похибки обчислень. Похибка обчислень може

вплинути на кількість ітерацій, однак не на точність кінцевого
результату. Цей метод має лінійну швидкість збіжності.

44