Page 42 - 6505

Теорема 3. Якщо функція f(t) неперервна на відрізку [a,b] і

набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна
f’(t) зберігає постійний знак всередині відрізка, то всередині цього

відрізка існує єдиний корінь рівняння f(t)=0 .
Для відокремлення коренів аналітичним методом можна

рекомендувати такий алгоритм:

1. Дослідити дане рівняння на монотонність і неперервність,
визначити область допустимих та граничних значень.

2. Знайти f’(t)– першу похідну, прирівняти її до нуля та

знайти критичні точки.
3. Скласти таблицю знаків функції f(t), використовуючи для t

значення критичних точок, граничних значень з ОДЗ і точок,

отриманих на першому кроці при аналізі заданого рівняння.
4. Визначити інтервали, на кінцях яких функція набуває

значення протилежних знаків. Всередині цих інтервалів існує по
одному і тільки одному кореню.

3
2
Приклад 2. Відокремити корені рівняння t +3t -24t+1=0
Розв’язок:
1. ОДЗ рівняння (−∞; +∞)

2
2. Визначимо першу похідну функції f(t): f'(t)=3t +6t-24 та
критичні точки, для чого f'(t)=0: t =-4; t =2
2
1
3. Складемо таблицю знаків виду
t −∞ -4 2 +∞

Sign f(t) - + - +

В результаті аналізу таблиці отримаємо три відрізки, на яких
функція змінює знак: (−∞,-4], [-4,2], [2,∞).

Розширимо таблицю, щоб отримати точні значення кінців

відрізків
t −∞ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞

Sign f(t) - - + + + + + + + - - - + +

41