Page 44 - 6505

При цьому вважаємо, що ( ) є неперервною на проміжку

[ ; ] .Оберемо, довільним чином, наближене значення
кореня ∈ [ ; ] і підставимо його в праву частину рівняння

(5.4) . Тоді отримаємо число:

= ( ), (5.5)

де – початкове наближення кореня рівняння (5.4).

Підставивши тепер в праву частину рівняння (5.5) замість

число , отримаємо нове число = ( ). Продовжуючи цей

процес, отримаємо в результаті послідовність чисел:
= ( ), ( = 1, 2, 3, … ). (5.6)

Якщо отримана послідовність збігається, тобто існує
= lim →
, то переходячи до границі у рівнянні (5.6)
отримаємо:

lim → → ) або = ( ),
= (lim
тобто границя є коренем рівняння (5.4) з довільним степенем
точності. Також, слід зазначити, що ітераційний процес збігається

до єдиного кореня рівняння ( ) = 0, якщо на відрізку [ ; ], який
містить корінь , виконується умова:

| ′( )| ≤ < 1, (5.7)

де = max [ ; ] | ′( )|

Збіжність ітераційного процесу буде тим швидшою, чим
менше число q , яке задовольняє нерівність (5.7).

Якщо ж умова (5.7) не виконується, то потрібно

рівняння ( ) = 0 перетворити до рівняння виду (5.4) таким

чином, щоб така умова виконувалась. Цього можна досягнути,
наприклад, шукаючи функцію ( ) із такого співвідношення:
( )
( ) = − ,

де обираємо так, щоб| | ≥ ( = max [ ; ] | ′( )|).

Ітераційний процес слід продовжувати до тих пір, поки не
буде виконуватись умова:

| − | < , = 1, 2, 3, …,

де − задана похибка обчислень.

43