Page 20 - 6416

 L x, ,u 
  14 8x  2x    u  0,
x  1 2 1
1
 L x, ,u 
  54 2x  12x  2  u  0.
x  1 2 2
2
Отже, отримуємо такі умови, які витікають із теореми Куна-Таккера
 x  2x  9 0 ,
1 2
  x  2x   9  ,
0
1 2
0
u x  0, u x  ,
1 1 2 2
 14 8x  2x    u  0 ,
1 2 1
 54 2x  12x  2  u  0 ,
1 2 2
x , x  ,   ,
0
0
1 2
0
u  0 , u  .
1 2
x
Для перетворення співвідношення   2x  9 0 у рівність введемо штучну змінну
1 2
w  0. Тоді
 x  2x  9 w  0 .
1 2
Із останнього рівняння знаходимо
9
w    2x  .
x
1 2
Отриманий результат дає змогу рівність  x   2x   9  записати у такому вигляді:
0
1 2
 w  0 .
У результаті отримаємо систему рівнянь
 x  2x  9 w  0 ,
1 2
 14 8x  2x    u  0 ,
1 2 1
 54 2x  12x  2  u  0 ,
1 2 2
0
u x  0, u x  , w 
0
1 1 2 2
0
x , x  ,   ,
0
1 2
0
0
u  0 , u  , w  .
1 2
0
0
0
В отриманих виразах всі рівняння, за винятком u x  , u x  і w  , є лінійними
1 1 2 2
відносно змінних x , x ,  , u , u , w . Отже, початкова задача квадратичного програмування
1 2 1 2
звелась до знаходження розв’язків системи лінійних рівнянь з врахуванням додаткових
0
0
0
обмежень u x  , u x  і w  .
1 1 2 2
Шляхом уведення штучних невід’ємних змінних r і r отримаємо таку задачу лінійного
1 2
програмування:

r
min : R   r   ,
r
1
2
x  2x  w  9 ,
1 2
8x  2x    u  r  14 ,
1 2 1 1
 2x  12x  2  u  r  54 ,
1 2 2 2
0
u x  0, u x  , w 
0
1 1 2 2
x , x  ,   ,
0
0
1 2
u  0 , u  , w  .
0
0
1 2
Знаходження розв’язку задачі здійснимо як реалізацію першого етапу задачі лінійного
програмування. При цьому додатковими обмеженнями буде необхідність виконання умов
u x  0, u x  і w  . Виконання цих умов означає: якщо змінна x (k  1 2, ) приймає
0
0
1 1 2 2 k
додатне значення, то величина u набуде нульового значення. Це означає, що змінні x і u
k k k
17