Page 24 - 6416

x  0, k  1,n .
k
запишемо у матрично-векторній формі
T
T
R   x  c x  x Dx ,
b
Ax  ,
x  0 ,
T
де c  c ,c , ,c  ; D - симетрична додатно визначена квадратна матриця розміром n n ;
1 2 n
A  матриця розміром m n утворена із коефіцієнтів обмежень при змінних x , k  1,n ;
k
T
b  b ,b , ,b  ;
1 2 m
T
x  x ,x , ,x n  .
2
1
Розглянемо вираз
n n n
r 
 d x x  d x x  d x x  d x x   d x x  d x 11 1 2  d x x  d x x   d x x 
2 k
k
2
n
1
1
kr k
k
3
21 2 1
kn k n
1 k
k
1 n
3 k
31 3 1
k 1 r 1 k 1 
2
2
 d x x  d x  d x x   d x x  d x x  d x x  d x   d x x   d x x  d x x 
12 1 2 22 2 32 3 2 n 2 n 2 13 1 3 23 2 3 33 3 n 3 n 3 1n 1 n 2n 2 n
2
d x x   d x .
3n 3 n nn n
Після групування подібних членів, отримуємо
n n
2
2
2
2
 d x x  d x  d x  d x   d x  d  d 21  x x  d  d 31  x x  d  d 32  x x 
kr k
1 2
nn n
33 3
12
13
2 3
r
11 1
1 3
23
22 2
k 1 r 1
 d  d  x x  d  d  x x   d  d  x x .
1n 1 n 1 n 2n n 2 2 n n 1,n n,n 1 n 1 n
Для забезпечення симетричності матриці D вибирають d  d , d  d ,…, d  d ,
12 21 13 31 1n 1 n
d  d , … d  d . У загальному випадку d  d , k  . Оскільки d  d  2d ,
r
2n n 2 n 1,n n,n 1 kr rk kr rk kr
k  , то позадіагональні елементи матриці D будуть такими:
r
d  d
r
d  d  kr rk , k  .
kr rk
2
2
Таким чином, діагональні елементи матриці D це коефіцієнти при змінних x , k  1,n , а
k
позадіагональні елементи це половина значень коефіцієнтів при змішаних добутках змінних
x x , k  .
r
k r
Отже, задача квадратичного програмування у матрично-векторній формі набуде такого
вигляду:
T
T
min : R   x  c x  x Dx ,
Ax  b , x  ,
0
 4  1 T
де c   14 ; c   54; D  ; A   1   2 ; b  ; x  x ,x  .
9
1 2   1 2
  1 6 
Для розв’язування задачі квадратичного програмування у системі MatLab її необхідно
подати у матрично-векторній формі таким чином:
1 T T
min : R   x  x Hx a x
2
за умови, що
Ax  b ,
A x  b ,
eq eq
lb  x  ub .
1 T T
T
T
Порівнюючи вирази   x  c x  x Dx і   x  x Hx a x , приходимо до висновку,
R
R
2
1
що D  H . Звідси знаходимо H  2D .
2
21