Page 20 - 6378

Розподіл Фермі-Дірака – закон, який виражає розподіл частинок за енергетичними

станами у фермі-газі: при статистичній рівновазі і відсутності взаємодії середнє число
частинок в – му стані з енергією дорівнює:

1
= − . (32)

+ 1

−

За високих температур, коли ≫ 1, обидва розподіли Фермі-Дірака і Бозе-

Ейнштейна переходять у класичний розподіл Максвела-Больцмана: = , де = .

Отже, за високих температур обидва квантових гази ведуть себе як класичний газ.

41.12. Рівень Фермі. Вироджений електронний газ в металах. Розподіл електронів

за різними квантовими станами підпорядковується принципу Паулі, згідно якого в одному
стані не може бути двох однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел)

електронів, вони повинні відрізнятися якою-небуть характеристикою, наприклад напрямом
спіну. Отже, згідно квантової теорії, електрони у металі не можуть перебувати на самому

нижньому енергетичному рівні навіть при 0 . Згідно принципу Паулі, електрони вимушені
підніматися вверх по енергетичній драбині.

Електрони провідності у металі можна розглядати як ідеальний газ, який

підпорядковується розподілу Фермі-Дірака. Якщо – хімічний потенціал електронного газу
0
при = 0 , то, згідно розподілу, середнє число () електронів у квантовому стані з

енергією дорівнює

1
() = . (33)
− 0
+ 1

Для ферміонів (електрони є ферміонами) середнє число частинок у квантовому стані
і ймовірність заселеності квантового стану співпадають, оскільки квантовий стан або може

бути не заселений, або у ньому буде знаходитися одна частинка. Це означає, що для

ферміонів () = (), де () – функція розподілу електронів за станами.
З (33) слідує, що при = 0 функція розподілу розподілу () = 1, якщо <

, і () = 0, якщо > . Графік цієї функції наведено на рис. 8, а. В області енергій від
0
0
0 до функція () рівна одиниці. При = вона стрибкоподібно змінюється до нуля.
0
0
Це означає, що при = 0 усі нижні квантові стани, аж до стану з енергією = ,
0
заповнені електронами, а усі стани з енергією, більшою за , вільні. Отже, є не що інше,
0
0
як максимальна кінетична енергія, яку можуть мати електрони провідності у металі при 0 .