Page 77 - 6109

що підтвердилася в снуючому світі, але не у всіх можливих світах. «Необхідна
помилкова» подія не підтверджується ні в якому з можливих світів, тоді як
«випадково помилкова» помилкова в існуючому світі, але не у всіх можливих
світах. Це ділення подій можна зобразити у вигляді діаграми (див. рис. 8.1).
Інтерпретаціям необхідно істинно, нейтрально істинно, нейтрально
помилково, необхідно помилково можна зіставити відповідно логічні значення 3,
2, 1, 0. Отже, модальна логіка, пов'язана з операторами необхідно і випадкове,
виявилася зануреною в чотиризначну логіку.

істинний вираз хибний вираз

не нейтральний нейтральний не нейтральний

3 2 1 0

випадково істинний вираз необхідно
(не необхідно хибний) хибний вираз

необхідно випадково хибний вираз
істинний вираз (не необхідно істинний)

Рисунок 8.1 – Семантики можливих світів

Припустимо, що семантика можливих світів зводиться до семантики з
двома можливостями: існуючий світ X і можливий У. Кожному вислову
припишемо одне з логічних значень 0, 1, 2 або 3 відповідно до того, якій з умов,
що приводяться нижче, воно задовольняє:
– помилково в X і в У (необхідно помилково),
– помилково в X і істинно в У (випадково, але не необхідно помилково)
– істинно в X і помилково в У (випадково, але не необхідно істинно)
– істинно в X і в У (необхідно істинно).
Вказана інтерпретація логічних значень приводить до таблиць (див. табл.
8.2) для заперечення, кон'юнкції і операторів і . Це задає деяку модальну
семантику для чотиризначної логіки.

Таблиця 8.2 – Чотиризначні логічні операції і модальні оператори

F  G
F F G F F
0 1 2 3
0 3 0 0 0 0 0 0
1 2 0 1 0 1 3 0
2 1 0 0 2 2 3 0
3 0 0 1 2 3 3 3

Відмітимо, що оператори заперечення і кон'юнкції, описані в табл.8.2 є
прямим добутком двох екземплярів аналогічних операторів з бінарної системи

77