Page 208 - 5637

Певний на відрізку [ , ] випадковий процес ( , ) і зростаюча послідовність

к
-алгебр { , ∈ [ , ]} ( ⊂ при < , , ∈ [ , ]) називаються

к

к

адаптованими, якщо при кожному ∈ [ , ] процес ( , ) є -вимірним. При цьому
к

події з є попередніми по відношенню до моменту .
Нехай { , ∈ [ , ]} – зростаюче сімейство -підалгебр -алгебри .

к
Відображення нульового підмножини Ω безлічі Ω в інтервалі [ , ], якщо

к
задовольняє умові { ≤ } ∈ при ∈ [ , ], – момент зупинки. Кожному моменту
к

зупинки зіставляється -алгебра підмножин безлічі Ω , що задовольняють умові

∩ { ≤ } ∈ при всіх ∈ [ , ]).
к

Події з є попередніми стосовно до . В дискретному за часом випадку процесу

( , ) (приймає лише рахункове або кінцеве безліч значень) є момент зупинки

щодо сімейства { , ∈ [ , ]} тоді, і тільки тоді, коли { = } ∈ при всіх , які є

к

значеннями . Якщо – деякий момент зупинки щодо сімейства { , ∈ [ , ]}, то

к
моментом зупинки буде і будь вимірне відображення ( ): [ , ] → [ , ], що
к
к

задовольняє умові ( ) ≥ для всіх ∈ [ , ].

к
Введемо відношення порядку в безліч можливих моментів, визначених щодо
фіксованого зростаючого сімейства -алгебр { }, а саме будемо говорити, що ≤

( передує ), якщо Ω ⊂ Ω , ( ) ≥ ( ), якщо ∈ Ω . За допомогою

відношення порядку моментів визначається верхня і нижня межі двох довільних
моментів зупинки і :

̅ = ∨ = max[ ( ), ( )] ;

( ), якщо ⋳ Ω ∩ Ω = Ω \Ω ,

̿ = ∧ = min[ ( ), ( )], якщо ⋳ Ω ∩ Ω ,

( ), якщо ⋳ Ω ∩ Ω = Ω \Ω

причому область визначення ̅ є Ω =Ω ∩ Ω . Таким чином певна функція ̅ є функція

безлічі Ω ∪ Ω .

Якщо (Ω, , ) – деяке ймовірнісна простір, – момент зупинки, визначений на Ω

щодо зростаючого сімейства { , ∈ [ , ]} і ( , ) ( ∈ [ , ]) – випадковий
к

к
(багатомірний) процес, адаптований до { , ∈ [ , ]}, то відображення ( ( ), )

к

безлічі Ω в безліч є – вимірним, якщо момент зупинки приймає лише

рахункове (і тим більше кінцеве) безліч різних значень [13].