Page 198 - 5637

∗
Нехай – випадковий мінімум в -й групі ( = 1, … , ). Так як в більшості

практичних задач потужність (тобто кількість елементів) безлічі досить велика, то з

імовірністю, близькою до 1, можна прийняти гіпотезу Про незалежність величин

∗
∗
, … , .

Тепер завдання визначення параметра = min ( ) вирішується за допомогою
∈
∗
∗
статистичних методів оцінки параметрів розподілу (8.39) за вибіркою , … , . Для

обчислення оцінок векторного параметра = ( , , ) використовуються такі методи:
метод моментів, метод максимальної правдоподібності та метод байєсівських оцінок.

Метод моментів заснований на обчисленні перших трьох вибіркових

1 1 1
∗
∗
= , = ∗ , =

Якщо тепер через ( , , ) ( = 1, 2, 3) позначимо відповідні моменти розподілу:

( , , ) = ( , , , ) , = 1, 2, 3,

то оцінку Θ = ( ̂ , , ̂ ) вектора параметрів Θ = ( , , ) знаходимо як рішення

системи рівнянь = ( ̂ , , ̂ ) ( = 1, 2, 3), яка, в свою чергу, перетворюється в

наступну систему:

= ( )( − ) ⁄ ,

̂ = + [ ( ̂ ) − ( ̂ )]( − ) ⁄ ,

3 2 1 1

= 1 + − 3 1 + 1 + + 2 1 + ( ̂ ), (8.40)

̂ ̂ ̂ ̂

де = ( − 3 + 4 )( − ) ⁄ – вибіркова асиметрія;

( ) = ∫ exp(− ) ( > 0) – гамма-функція;

1
( ) = 1 − 1 + ( );

⁄
2 1

( ) = 1 + − 1 +

Оцінки, отримані за допомогою: методу моментів, заможні, хоча і не мають
найменшу з усіх можливих дисперсію. Так як функції
( , , ) ( = 1, 2, 3) безперервно залежать від своїх аргументів, то з практичної

точки зору для досягнення необхідної точності при оцінювань за методом моментів