Page 197 - 5637

Конкретизуємо задачу. Нехай – деякий непорожнє підмножина целочисленной

решітки евклідового простору , ( ) = ( ), … , ( ) – критерій-функція

мети, кожен компонент якої бажано мінімізувати. Будемо вважати
( ) ≤ ( ), якщо ( ) ≤ ( );

( ) = ( ), якщо ( ) = ( );

( ) < ( ), якщо ( ) ≤ ( ),

і існує таке, що ( ) < ( ) ( , = 1, … , ).

Позначимо через безліч Парето в просторі аргументів:

= { : ⋳ : ⋳ : ( ) < ( )},

через – безліч Парето в просторі значень ( ):

=: { : = ( ), ⋳ },

Аналогічно вводиться і безліч не домінуючих критеріїв. Безліч не домінуючих в

просторі аргументів визначається співвідношенням

= { : ⋳ : ⋳ : ( ) < ( )} ,

в просторі значень ( )

= { : = ( ), ⋳ },

У разі скалярної функції алгоритм ґрунтується на факті можливості

апроксимації функції розподілу групового (випадкового) мінімуму деяким

граничним розподілом ( ; , , ), що залежать від параметрів , , :
−
1 − exp
( ; , , ) = при ≥ , (8.39)
0 при <

Тут −∞ < < ∞, > 0, > 0 – параметри мінімуму, масштабу і форми розподілу

( ; , , ). Саме розподіл ( ; , , ) в теорії ймовірностей називають третім

граничним розподілом або законом Вейбулла-Гнеденко. Розподіл ( ; , , ) [79]

досить добре апроксимує функцію розподілу мінімумів реалізацій випадкових

величин, що задовольняють вимогу обмеженості ліворуч з ймовірністю 1. Параметр і

дає шукане значення min ( ).
∈
Розглянемо вибірок, кожна з яких розміром в членів, узятих з генеральної

сукупності ( ) , де – випадкова величина, розподілена на по деякому закону

(при відсутності апріорної інформації можна вважати розподіленої рівномірно на ).