Page 16 - 4968

 ij
 a
  ,i  ,j
m a ii
 , 0 ,i  .j
i , j

Матриця A має домінуючу головну діагональ, якщо кожний
діагональний елемент цієї матриці за модулем більший, ніж сума

модулів інших елементів цього ж рядка:

n
a   i 1  n . (4.4)
ik
ii a , , 2 ,
k  k , 1 i 
Дана ознака визначає застосовність методу.
Ітераційний метод Гауса-Зейделя – метод розв’язання
 0 – передбачає розв’язання
системи рівнянь Ax  за умови a
b
ii
кожного рівнянняґ системи окремо відносно тільки однієї
змінної. Однак під час обчислення i-тої компоненти вектора
-й ітерації
розв’язку  k 1 -го наближення на поточній  k 1
-го наближення
використовуються вже знайдені компоненти  k 1
з меншими індексами:

n
b   a x k 1    a x  k
n
k 1  i j 1 ij j j i 1 ij j
a  , i 1 2 ,  n (4.5)
i
a
ii
У матричній формі рівняння для методу Гаусса-Зейделя
можна записати у вигляді:

k 1  k 1   k 1 
x   Lx  Ux  D b,
звідки матриця перетворення

M   E (  L)  1 U . (4.6)
У компонентному вигляді можна записати наступним чином:

(k  )1   k  k   k
x   a x  a x  a x  b /a ;
 1 12 2 13 3 1n n 1 11
 1k    1k   k   k
 x   a 21 x 1  a 23 x 3  a 2n x n  b 2 /a 22 ; (4.7)
 2
 
  1k    1k   1k   1k 
x   a x  a x   a x  b /a .
 n 1 n 1 n 2 2 nn 1 n 1 n nn
Для збіжності метода Гауса-Зейделя необхідно і достатньо,
щоб усі власні значення цієї матриці були за модулем менші за
одиницю. Для симетричної позитивно визначеної матриці A з

домінуючою головною діагоналлю умова збіжності обчислень
приймає вигляд:

 r i  (4.8)
M max 1,
i
1  s
i

16