Page 35 - 4786

ігри, в яких:
n приймають участь тільки дві сторони;
n одна сторона виграє рівно стільки, скільки програє інша.
Такий рівноважний виграш, на який мають право розрахувати обидві сторони,
якщо вони будуть додержуватися своїх оптимальних стратегій, називається ціною
гри. Розв’язати парну гру з нульовою сумою означає знайти пару оптимальних
стратегій (одну для першого гравця, а другу – для другого) і ціну гри.
Дві компанії Y і Z з метою збільшення обсягів продажу продукції розробили наступні
альтернативні стратегії:
Компанія Y : - Y1 (зменшення ціни продукції);
n Y2 (підвищення якості продукції);
n Y3 (пропозиція вигідніших умов продажу).
Компанія Z : - Z1 (збільшення витрат на рекламу);
n Z2 (відкриття нових дистриб’юторських центрів);
n Z3 (збільшення кількості торгових агентів).
Вибір пари стратегій Yi i Zj визначає результат гри, який позначимо як Aij і
вважатимемо його виграшем компанії Y. Тепер результати гри для кожної пари
стратегій Y i Z можна записати у вигляді матриці, у якій m рядків та n стовпців. Рядки
відповідають стратегіям компанії Y, а стовпці - стратегіям компанії Z:
Стратегії Y Стратегії Z
Z1 Z2 Z3

Y1 А11 А12 А13
Y2 А21 А22 А23
Y3 А31 А32 А33

Така таблиця називається платіжною матрицею гри. Якщо гра записана у
такому вигляді, це означає, що вона приведена до нормальної форми.
Для розв’язання гри розрахуємо верхню і нижню ціну гри та обчислимо сідлову
точку.
Нижню і верхню ціну гри знаходимо керуючись принципом обережності,
згідно якого у грі потрібно поводити себе так, аби при найгірших для тебе діях
противника отримати найкращий результат (вже відомий нам критерій песимізму).
Нижня ціна гри (яку прийнято позначати a) розраховується шляхом визначення
мінімального значення Aij по кожному рядку платіжної матриці (стратегії гравця Y) і
вибору з-поміж них максимального значення, тобто:
a = max ( min Aij ).
Верхня ціна гри (яку прийнято позначати b) розраховується шляхом визначення
максимального значення Aij по кожному стовпцю платіжної матриці гри (стратегії
гравця Z) і вибору з-поміж них мінімального значення, тобто:
b = min ( max Aij ).
Якщо нижня ціна гри дорівнює верхній (a = b), то така гра має сідлову точку і
вирішується в чистих стратегіях. Сідлова точка – це такий елемент в платіжній
матриці гри, який є мінімальним у своєму рядку і одночасно максимальним у своєму
стовпці.
Чисті стратегії – це пара стратегій (одна - для першого гравця, а друга - для
другого гравця), які перехрещуються в сідловій точці. Сідлова точка в цьому випадку
і визначає ціну гри.
Ігри, які не мають сідлової точки, на практиці зустрічаються частіше. Доведено,

35