Page 31 - 4757

Якщо прирівняти праву частину диференційного рівняння
до нуля, та отримаємо також однорідне диференційне рівняння:
1
n
n
d Y ( )t d Y ( )t d n 2 Y ( )t
a  a  a  ... a Y ( )t  (2.3)
0
0 n 1 n 1 2 n 2 n
dt dt dt
Це рівняння описує процеси в системі у випадку, коли
немає зовнішніх дій на неї. Тобто однорідне рівняння описує
власні коливання системи.
Часто користуються операторною формою запису
рівняння (2.2), яка отримується на основі перетворення Лапласа.
Тоді (2.2) набуде вигляду:
 a p n ( )t  a n 1 p n 1 ( ) ...t   a 0  ( )Y p 
n
(2.4)
b p
  m m ( )t  b m 1 p m 1 ( ) ...t   a 0  ( ).X p
Однорідне рівняння (2.3) в операторній формі матиме
вигляд:
a p n ( )t  a n 1 p n 1 ( ) ...t   a 0  ( ) 0.Y p  (2.5)
n
Для того щоб вираз (2.5) був рівний нулю, потрібно, щоб
нулю дорівнював множник у дужках. Тобто:
a p n ( )t  a n 1 p n 1 ( ) ...t   a  0. (2.6)
n
0
Це звичайне алгебраїчне рівняння. У ньому р - конкретна
змінна величина. Розв’язавши рівняння (2.6), матимемо
розв’язок однорідного диференційного рівняння (2.2). Рівняння
(2.6) в математиці має назву характеристичного рівняння. У
теорії диференційних рівнянь, а також у ТАК дане рівняння
відіграє важливу роль.

29