Page 218 - 4685

Коефіцієнт k називається множником Лагранжа. Якщо у вихідній задачі є
набір обмежень, то в альтернативній задачі в другому доданку з'являється сума
доданків з коефіцієнтами k (i). Якщо обмеження по i-му ресурсу в точці
екстремуму перетворюються в рівність, то множник Лагранжа для них не
дорівнює нулю. Якщо обмеження в точці екстремуму не впливають на рішення,
то множник Лагранжа для них дорівнює нулю.
При загальній постановці оптимізаційної задачі у вигляді:
max (min) f(x , х ,...,х );
n
2
1
g (x , х ,…,х ) = bi (i=1,…,т),
i
n
2
1
функція Лагранжа має вигляд:
Q
” 4 , 4 , … , 4 • , • , … , • = – 4 , 4 , … , 4 + ; • j0 − — 4 , 4 , … , 4 k.
! [ > ! [ Q ! [ > ! [ >
!
Для її оптимізації знаходять часткові похідні ˜™ (j=1,…,n) і ˜™
˜X š ˜›
(i=1,…,т) і розглядають систему п + т рівнянь
Q
œ” œ– œ—
i = − ; • = 0;
K œ4 = œ4 = œ4 =
!
hœ”
K = 0 − — 4 , 4 , … , 4 = 0

[
>
!
gœ4 =
з п + т невідомими х , х …, х , λ , λ , …, λ .
m
2
n
2
1
1
l
l
l
Будь-яке вирішення системи визначає точку 4 = 4 , 4 , … , 4 , у якій може
[
>
!
мати місце екстремум функції f(x ,х ,...,х ). Отже, вирішивши систему рівнянь,
2
n
1
отримаємо всі точки, в яких функція Лагранжа може мати екстремальні
значення.
Приклад. Відомий ринковий попит на певний виріб в кількості 180 штук.
Цей виріб може бути виготовлений двома підприємствами одного концерну за
різними технологіями. При виробництві x виробів першим підприємством його
1
витрати складуть 4x + грн., а при виготовленні х виробів другим
2
x
1 1 2
підприємством вони складають 8x + грн. Визначити, скільки виробів,
2
x
2 2
виготовлених за кожною технологією, може запропонувати концерн, щоб
загальні витрати його виробництва були мінімальними.
Рішення. Запишемо математичну постановку задачі у вигляді:
[
[
min – 44 + 4 + 84 + 4 ;
!
[
[
!
4 + 4 = 180;
! [
4 , 4 ≥ 0.
[
!
Для знаходження мінімального значення цільової функції складемо
функцію Лагранжа
[
” 4 , 4 , • = 44 + 4 + 84 + 4 + λ180 − 4 − 4 ,
[
!
!
!
[
!
[
[
[
обчислимо її часткові похідні по х , х , λ і прирівняємо їх до нуля:
2
1
214