Page 170 - 4617

Приклад 8. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ З УРАХУВАННЯМ ОПОРУ

тобто 5x x 10 x  500cos  t  , (8.6)
4

де 10   ( 100рад/с – частота власних коливань вантажа).
4
2
0 0
 закон руху вантажа відносно положення статичної рівноваги;
Розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння

(8.6) складається із суми розв’язку відповідного однорідного рів-
няння x і частинного розв’язку неоднорідного x :
2
1
x  x  x (8.7)
1
2
Рівнянню (8.6) відповідає однорідне диференціальне рівняння
x
0,2x   2000x  0, характеристичне рівняння якого має вигляд
  5    . (8.8)
2
2
0
0
Знаходимо корені рівняння (8.8)    2,5  6,25  , або піс-
2
2
1,2 0
ля підстановки чисельних даних
Коефіцієнт сили опору, кг/с  2 100
  5 99,87i  5 99,87i
1
Корні характеристичного рівняння
 20,87 479,13
2
Тоді загальний розв’язок рівняння (8.8) залежно від значення

коефіцієнта сили опору  приймає вигляд
Коефіцієнт сили опору, кг/с Загальний розв’язок
C

2 x 1  e 5t   1 sin 99,87t  C 2 cos 99,87t
100 x  Ce  20,87t  C e  479,13t
1
2
1
Тобто характер руху вантажа залежить від величини коефіцієнта
сили опору: якщо  40, то це коливальний рух (при  12 цик-

лічна частота вільних коливань  99,87 рад/с), якщо  40 –
0
аперіодичний.

 закон вимушених коливань вантажа;

Оскільки права частина рівняння (8.6) 500cos  t  має спеці-
альний вигляд, то частинний розв’язок – закон вимушених коли-

вань вантажа знайдемо методом невизначених коефіцієнтів

 C
x  C sin  t cos  t . (8.9)
2 3 4
Спочатку визначимо першу і другу похідні від закону вимуше-
них коливань вантажа за часом


x   C 3 cos  t  C 4 sin  t  ; x    C 3 sin  t  C 4 cos  t  .
2




2
2
Невизначені коефіцієнти C і C знаходимо шляхом підстанов-
3 4
ки x , x і x в рівняння (8.6):
2 2 2

170