Page 122 - 4617

Приклад 6. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ
ПІД ДІЄЮ ЗБУРЮВАЛЬНОЇ СИЛИ

 22,5 1000 x  800 3 x  0;
2

 11 21 (6.11)

2
 5 3  2 x   10 1600 x 21  0,

11
з якого отримуємо власні частоти механічної системи, прирівняв-
ши нулю головний визначник цієї системи рівнянь
22,5 1000  800 3
2
 0, або 9  2320 64000  0, (6.12)
2
4
5 3  2 10 1600
2
звідси корені рівняння (6.12)  14   5,6 ; 15i  i. Отже, власні часто-
ти механічної системи  5,6 рад/с і  15 рад/с.

2
1

A A
Позначимо відношення 21  22   , де A , A – амплітуди
A 11 A 12 11 12
вільних коливань призми, а A , A – візочка відповідно для
21
22
першої й другої частоти, тоді загальний розв’язок однорідної сис-
теми диференціальних рівнянь руху (6.10), що відповідає знайде-
ним частотам має вигляд
x 11  C 1 sin5,6tC 2 cos5,6tC 3 sin15tC 4 cos15 ;t
x   C sin5,6tC cos5,6t   C sin15tC cos15t , (6.13)
21 1 1 2 2 3 4
де  ,  – коефіцієнти розподілу, що відповідають власним часто-
1
2
там.
З другого рівняння системи (6.11) з урахуванням x 21   x маємо
11

2
5 3   10 1600   0, тобто   53  2 , звідки коефіцієнти
2
10 1600
2
розподілу приймають значення
5 3 5,6 2 5 3 15 2
  0,2;    3, (6.14)
1
 10 5,6 2  1600 2  10 15 2  1600
а загальні розв’язки (6.13) приймають вигляд
x  C sin5,6tC cos5,6tC sin15tC cos15 ;t
11 1 2 3 4 (6.15)
x  0,2 C sin5,6tC cos5,6t  3 C sin15tC cos15t .
21 1 2 3 4
Частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь (6.9) бу-
демо записувати відповідно до вигляду правої частини (вигляду
збурювальної сили) двома способами:

1) розкладемо збурювальні сили – кусково-диференційовані
функції в ряд Фур’є. Ряд Фур’є для збурювальної сили має вигляд:
a    2 m    2 m   
Qt 0    a m cos  t   b m sin  t   ,
  
2 m 1   T Q   T Q  

t  T Q T t  T
0
2 t  Q 2 m 2 0 Q  2 m 
0

де a  T Q t  Q dt ; a  T 2 Q t Q cos     T Q t dt ;b  T Q t Q sin    T Q t dt .

m

m
0


0 0 0
122