Page 20 - 4612

певних затруджень з аналітичними розв'язками використовуються наближені
методи: графічний метод, метод хорд, метод дотичних, метод ітерацій тощо.
Дослідження динамічних режимів функціонування ОК, представлених у
вигляді диференціальних рівнянь, вимагає необхідність їх розв'язку, для чого
використовується: метод розділення змінних, метод підстановки, метод
інтегруючого множника тощо. Якщо в результаті розв'язку алгебраїчних
рівнянь отримують числа, то в результаті розв'язку диференціальних рівнянь
отримують функції.
Багато із математичних моделей досліджуються за допомогою
варіаційного числення, суть якого полягає у наступному. Якщо заданий
'
х
функціонал F(у ) в області х   х , то необхідно знайти таку функцію у=f(х) у
0 1
'
заданій області функціоналу F(у ), за якої цей функціонал набуває мінімального
або максимального значення. При дослідженні процесів методами варіаційного
числення знаходять такі закономірності, при яких їх розвиток енергетично є
найбільш економним. Дуже часто такі закономірності описуються
експоненціальними функціями, які задовольняють принципи варіаційного
числення.
Перетворення Лапласа також широко використовують при розв'язку
диференціальних та інтегральних рівнянь. При цьому використовують таблиці
прямого і зворотного перетворень Лапласа. Це особливо є актуальним при
досліджені перехідних процесів при контролі чи вимірюванні відповідних
параметрів ОК.
Розглянуті вище аналітичні методи, як правило, дозволяють успішно
вирішувати (досліджувати, розв'язувати) відносно прості задачі досліджень.
Однак все частіше виникає потреба досліджувати (розв'язувати) складні
диференціальні рівняння, системи рівнянь із складними початковими і
граничними умовами (часто нелінійними). У таких випадках використовують
наближені числові методи.
Суть числових методів полягає у наступному:
1) в площинній області (G y  f ( ))х , в якій здійснюється пошук розв'язку,

будують сіткову область G , яка складається з однакових кліток і наближається
m
до області G ;
2) досліджуване диференціальне рівняння замінюють у вузлах побудованої
сітки відповідним кінцево-різницевим рівнянням;
3) з урахуванням граничних умов визначають значення шуканого розв'язку
у граничних вузлах області G .
m
Розв'язавши отриману систему кінцево-різницевих рівнянь (для чого
необхідно розв'язати алгебраїчну систему з великою кількістю невідомих),
знаходять значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто отримують числовий
розв'язок математичної моделі. Вибір області сіток здійснюється залежно від
конкретної задачі, але у всіх випадках контур області сіток G необхідно
m
вибрати так, щоб він якомога краще апроксимував контур заданої області сіток
G . Область сіток може складатися квадратних, прямокутних, трикутних і
інших видів кліток.
Відомі такі методи числових розв'язків диференціальних та інтегральних

18