Page 193 - 4496

властивостей. Тоді формула для підрахунку числа об'єктів, що
не володіють жодною з виділених властивостей, спрощується.

При довільному n маємо:
2
n
1
N (n )  N  C  N ) 1 (  C  N ) 2 (  ... ( ) 1  N (n ) (5.9)
n
n
В останньому прикладі попереднього параграфа ми
використовували цей окремий випадок головної теореми
комбінаторики. В загальному випадку при перестановці n
предметів кількість розстановок, при яких жоден предмет не
знаходиться на своєму місці:
1
2
N( n ) n  C ( n  )!1  C ( n  )!2 ...  (5.10)
n
n
 (  )1 n  )!0(  D n
D
Набуте значення n іноді називають формулою повного
D
безладдя або субфакторіалом. Субфакторіал n можна
представити і так:
 1 1 1 ( ) 1 
n
D n  ! n  1    ...  ,
 ! 1 ! 2 ! 3 ! n 
де вираз в [...] прямує до е-1 при необмеженому
зростанні n.
Субфакторіал має властивості, схожі на властивості
звичного факторіалу. Наприклад
n! = (n-1)[(n-1)! + (n-2)!] - для звичного факторіалу
D n = (п-1[ D n 1  + D n  2 ] - для субфакторіалу.
Субфакторіали легко обчислюються по формулі
D  nD n 1  ( ) 1 n .
n
Приведемо деякі початкові значення субфакторіалів:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
D n 0 1 2 9 44 255 1784 14273 128456

190