Page 6 - 4371

1.17 Об’єм тетраедра DABC дорівнює V . Точки
K , ,L M N такі, що AK  CA, CL  BC , DM  AD ,
,
DN  CD . Знайти об’єм тетраедра LKNM .
1.18 Довжина вектора, який дорівнює сумі даних десяти
векторів, більша ніж довжина суми будь-яких дев’яти з
них. Довести, що існує така вісь, що проекція кожного з
даних десяти векторів на цю вісь додатна.
  
1.19 Вектори a , a , a некомпланарні. Довести, що
1 2 3
 3   
вектори b    aa  , ia  , 1 , 2 , 3 також некомпланарні.
i i j j
1  j
1.20 Точки K , L, M, N не лежать в одній площині.
З’ясувати, при яких дійсних значеннях параметра  існує
точка O така, що
2 OK  3 OL  5 OM   ON .

1.21 Задано трикутник ABC . Вектор CA повернутий
навколо точки C на кут 90  , а вектор CB – на кут 90  .
Отримані вектори позначені через СA і CB . Довести, що
1 1
медіана трикутника CA B , проведена із вершини C ,
1 1
перпендикулярна до прямої AB .
1.22 Нехай ABCD – будь-який чотирикутник, O – точка
перетину відрізків, які з’єднують середини протилежних
сторін цього чотирикутника. Довести, що

OA  OB  OC  OD  0.
1.23 Довести, що для того, щоб діагоналі чотирикутника
були взаємно перпендикулярними необхідно і достатньо,
щоб суми квадратів протилежних сторін були рівними.
1.24 Довести, що коли сума квадратів сторін чотирикут-
ника дорівнює сумі квадратів його діагоналей, то цей
чотирикутник є паралелограмом.
1.25 Для довільних дійсних чисел x , i  6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,
i
порівняти числа

6