Page 5 - 4371

1.9 Нехай a і b – неколінеарні вектори, S – площа па-

ралелограма, побудованого на них. Довести, що S  c b  ,
де   abac    .
1.10 Знайти кут між мимобіжними медіанами граней
правильного тетраедра.
1.11 Три різних одиничних компланарних вектори ма-
ють спільний початок в точці, що лежить на прямій L .
Довести, що якщо кінці всіх векторів знаходяться по один
бік від L , то модуль їх суми більший від одиниці.
1.12 Довести, що сума косинусів двогранних кутів при
всіх ребрах довільної трикутної піраміди не перевищує
числа 2.
1.13 Точки A , A , , . . . A розбивають коло радіуса R
1 2 n
на n рівних дуг; B − довільна точка цього ж кола. Знайти
модуль суми векторів BA  BA  .. .  BA .
1 2 n
1.14 Три вектори OA , OB, OC задовольняють умові
OA OB  OB OC  OC OA  0 .

Довести: а) Вектори OA , OB, OC – компланарні;
б) Точки A, B, C лежать на одній прямій.
1.15 Із однієї точки проведені три некомпланарні векто-
ри a, b c , . Довести, що площина, яка проходить через кі-
нці цих векторів, перпендикулярна до вектора

a b b c c a .
1.16 На всіх сторонах опуклого n -кутника A A ... A
1 2 n
зовні побудовано правильні трикутники
A A B , A A B , A A B , . . . , A A B . Довести, що
1 2 n 2 3 1 3 4 2 n 1 n 1 

A B  A B  . . .  A B  0 .
1 1 2 2 n n

5