Page 4 - 4371

УМОВИ

1 Вектори
  
1.1 Є три вектори a , b , c , жодні два з яких неколінеар-
  
b
ні. Відомо, що вектор a  колінеарний вектору c , а век-
  
тор b  колінеарний вектору a . Знайти довжину вектора
c
  
a  b  c .
1.2 Нехай A, B , C – довільні точки простору. Довести,
що існує єдина точка O така, що OA  OB  OC  0 .
1.3 Нехай A , A ., , . . A – вершини правильного n -
1 2 n
кутника, точка O – його центр. Знайти суму векторів

OA  OA  .. .  OA .
1 2 n
1.4 Нехай ABCD – прямокутник і M – довільна точка
простору. Довести: а) MA MC  MB MD ;
2 2 2 2
б) MA  MC  MB  MD .
1.5 Нехай AA , BB , CC – бісектриси трикутника
1 1 1
ABC . Довести, що якщо AA BB CC  0 , то трикутник
1 1 1
правильний.
  
1.6 Довести, що для будь-яких векторів a, b , c спра-
ведлива рівність:
      2   2   2  
2
2
2
3 a  b  c 2  a  b  c  a  b  b  c  c   a .
     
1.7 Довести, що вектори  a  b   bb  та a  b
колінеарні.
1.8 На площині розміщені два кола радіусів r і r з
1 2
центрами O і O відповідно. На першому колі взято точку
1 2
A , а на другому – A так, що вектори O A і O A колі-
1 2 1 1 2 2
неарні і протилежно напрямлені. Яку лінію опише середи-
на відрізка A A , якщо точка A пробіжить перше коло?
1 2 1

4