Page 317 - 4371

12.19 Із даного рівняння випливає, що dy dx  1  1 x 4 .
Із формули Ньютона-Лейбніца для будь-яких x і x одер-
1 2
жуємо
2 x dy 2 x dx   dx
y   yx   x  dx     .
2 1 dx 1  x 4 1  x 4
1 x 1 x  
Із збіжності останнього інтеграла випливає обмеженість  xy .

12.20 Легко бачити, що кожний розв’язок  xy є непере-
рвна, диференційовна і монотонно зростаюча функція. Має-
мо
x dt  dx  dx
y  y   , y  y     ,
0 2 2 0  2 2  2
1  t  y 1  x  y 1  x
x 0    
що означає обмеженість розв’язку на всій числовій осі.
12.21 Розв’язок даного рівняння, який задовольняє почат-
кову умову y  0  y , можна записати у виді
0
 x 

y  e ax  e at q    ydtt 0  .

 0 
1 0
Покладемо y   e at q  dtt і доведемо, що одержаний
0 aT
1  e
T
x e ax 0
розв’язок    exy ax  e at q   dtt aT  e at q  dtt періодич-
0 1 e T
x T
ний з періодом T . Справді,  Txy   e a  Tx   e at q   dtt
0
e a  Tx  0 at x T at заміна
  e q  dtt . Розглянемо  e q  dtt  
1 e aT t  z T
T 0
x x  0 x 

z
dz
 e a  Tz  q  Tz dz  e a  Tz  q  dzz  e aT  e az q    edzz  az q    .




T T   T 0 
Тоді для будь-якого x маємо
317