Page 316 - 4371

4x 4 x 4  x 2
   1, тобто f   1x для всіх x ,
4  x 2 4  x 2 4  x 2
причому значення 1 досягається при x 2 . Таким чином,
max f    fx   12  .
x R
12.16 Як і в попередній задачі одержуємо:
max f    fx   12  .
x R
12.17 Зауважимо, що дане диференціальне рівняння має
x
розв’язок y  . Вважаючи далі, що y  , запишемо рів-
x
няння у виді:
1  2 dy 
3  x   xy  1   y  x sin y   1   0, або
y  x  dx 
 2 1   1 
 3  x  dx    sin dyy   0 .


 y  x   x  y 
Неважко перевірити, що одержано рівняння в повних дифе-
ренціалах. Інтегруючи його, одержуємо
3
3
x  ln x  y  cos y   ln C , або остаточно x  y  Ce x  cos y ,
де C – константа, відмінна від нуля. При C  0 сюди вхо-
дить також і розв’язок y  .
x
12.18 Домножимо початкове рівняння на y :
 x 2 
y 2  2x ln y dx  2  xy  dy  0 .
 
 y 
2
 2   xy  x 

2
 y  2 xln  y  y  2 x


Оскільки   2 y  , то одержа-
y  x  y
но рівняння в повних диференціалах. Неважко знайти зага-
2
2
льний інтеграл цього рівняння: xy  x ln y  C . Враховую-
чи початкову умову, одержуємо C  2 . Таким чином,
розв’язок поставленої задачі Коші можна записати у виді
x y 2  x ln y  2 .
316