Page 207 - 4371

7.12 Доведення проведемо методом математичної інду-
n
 n 
кції. Розглянемо ліву нерівність: n ! n  , легко переко-
 e 
натись, що при n  7 вона виконується. Тоді, припустив-
ши, що нерівність виконана при деякому n , маємо (заува-
e
жимо, що силу (7.3)  1):
n 1 
 1 
1   
 n 
n n 1 n 1
 n   n  1 n e
 1n   ! n 1  !n  1 nn      1n   
 e   e   1n  n 1
n  1 n  1
 n 1 e  n 1
  n  1     n  1   ,
 e   1  n  1  e 
1   
 n 
тобто, нерівність справедлива і при n 1.
n n
 n   n 
Праву нерівність n     запишемо в еквівалент-
 e   2 
n
 e 
ному виді: n    . Легко перевірити, що вона викону-
 2 
n  1 e
ється при n 6. Зауваживши, що  при n 3, при-
n 2
пустимо, що нерівність виконується при деякому n , тоді
n n  1
n  1 e  e   e 
n  1  n       , що, в силу принципу мате-
n 2  2   2 
матичної індукції, свідчить про те, що нерівність справед-
лива при будь-якому цілому n 6.
7.13 Підставивши q  1  p , одержимо еквівалентну не-
рівність
1 x
2 x
e 2 x e p  1 xx  2   e  p e  e 2 x ;
2 x
поділивши на e , маємо
207