Page 20 - 4299

Відповідь. Корінь рівняння xln 1 x 2  e  x  0 c  0,8306 .
Задача № 5.
Для даних, які наведені у таблиці,

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
f   x 1,00 0,86 0,84 0,91 1,09 1,37

знайти наближення Лагранжа
Теоретичні засади розв’язування задачі. Допускається, що в точках N  1 відомі точні
значення як аргументу x , k  0,N так і самої функції  xf . Нехай y     x  P   x деяка
k k
крива, яка проходить через точки  xf .
k
*
Коли x  x  x , наближення  xP називають значенням інтерполяції . Якщо x  x або
0 N 0
x  x , то  xP називають значенням екстраполяції.
N
Інтерполяція – це процес побудови інтерполяційної функції.  xP з метою знаходження
проміжних значень табличної функції.

Нехай на відрізку a;b в точках x 0 x , 1 ,.., x відомі значення функції y  f   k,x k  , 0 N .
N
k
Поставимо задачу знайти інтерполяційну функцію  xP для  xf , тобто таку функцію,
значення якої    ,...,xP,xP P  x в заданих точках x x , ,.., x (у вузлах інтерполяції)
0 1 N 0 1 N
співпадають з табличними значеннями функції: y  f   y;x  f  ;...;x y  f  ;x
0 0 1 1 N N
Будемо вважати, що функція  xP є многочленом степені N .
Таким чином, нам необхідно розв’язати таку задачу: для табличної функції  xf знайти
многочлен  xP степеня N такий, що виконується сукупність умов інтерполяції

k
P    y   0 1, ,...,N . (5.1)
x
N k k

Многочлен P   x будемо шукати у такій формі:
N

P   x  a  a x  a x  ... a x N . (5.2)
N 0 1 2 2 N

Оскільки степінь многочлена відомий, то розв’язок задачі інтерполяції зводиться до
знаходження його коефіцієнтів: a a , ,.., a .
0 1 N
Найпростіший шлях розв’язку такої задачі – це скласти систему лінійних відносно
коефіцієнтів a a , ,.., a рівнянь. Для цього як раз є N  1 умова (5.1). Таким чином, для того
0 1 N
щоб многочлен (5.2) був інтерполяційним необхідно, щоб його коефіцієнти були розв’язком
системи рівнянь

2
a  a x  a x k  ... a x N  y k ,  , 0 N .
0 1 k 2 N k k

Практичне застосування цього методу є малоефективним. Тому для побудови
інтерполяційного поліному P  x користуються методом, який носить назву наближення
N
Лагранжа.
Многочлен P   x будемо шукати у такій формі:
N

N
P   x  y    x . (5.3)
N k k
k 0

*
Латинське слово interpolatio перекладається як оновлення, зміна, переробка. Цей термін увів у 1656 р.
англійський математик Д. Уоллес (1616-1703 рр.)

19