Page 21 - 4299

Для того щоб виконувались умови (5.1), функція   x в точці x  x повинна
k k
дорівнювати одиниці і нулю в інших точках x  x i ,  , 0 N i ,  k , тобто:
i

 0, якщо i  k

x
        k,i 0 1, ,...,N .
k i ki
 1, якщо i  k

Рівність нулю k  го многочлена в усіх вузлах інтерполяції, крім k  , означає, що  x
i
k
можна записати у такому вигляді:

N
  Ax  xx   xx...  xx   xx... A   xx  (5.4)
k k 0  k 1  k 1 N k i
 i 0
i k

Коефіцієнт A вводиться для того, щоб у точці x  x виконувалась умова    1x .
k k k k
Отже, для того щоб знайти значення A необхідно в (5.4) замість x підставити його значення
k
у вузлі інтерполяції x  x і отриманий результат прирівняти до одиниці. У результаті
k
отримаємо:

A  x  x   1.
k k i
 i 0
i k

Звідси знаходимо:

1
A  .
k N
 x k  x i 
 i 0
i k

Знаючи значення A , знайдемо функцію   x . Для цього необхідно знайдене значення
k k
A підставити у вираз (5.4). Тоді
k
N
   xx i 
 i 0
i k
 k   x N .
 x k  x i 
 i 0
i k

Тепер можемо знайти інтерполяційний поліном Лагранжа шляхом підстановлення
функції  x у вираз (5.3)
k

N
  x x i 
N i 0
P   x   y i k (5.5)
N k N
k 0
 x  x i 
k
i 0
i k
Вираз (5.5) дає змогу отримати поліном Лагранжа степені N за значеннями x , y ,
k k
k  0, N .
Розв’язок задачі.
У відповідності з умовою задачі кількість вузлів інтерполяції дорівнює шести. Тому
 
степінь полінома P x буде такою: N  6 1 5  .
N
20