Page 25 - 4299

Необхідні і достатні умови у задачі безумовної мінімізації. Припустимо, що функція

f   x неперервна на інтервалі a;b і має першу f    x і другу f    x похідні. Тоді, якщо
мають місце умови
f    0x  , (6.3)

f    0x  , (6.4)

*
то у точці x  x функція   x має локальний мінімум.
f
*
f
Кажуть, що функція   x має локальний мінімум у точці x  x , якщо існує такий
*

відкритий інтервал I  a;b , який вміщує x , що   x  f x * I
f
  для всіх x .
Розв’язок задачі.
Обчислимо об’єм циліндра
V  S h ,
o
де S - площа основи циліндра.
o
2
r
Оскільки в основі циліндра лежить круг радіусом r , то S   . Отже,
o
2
V   r h . (6.5)
Знайдемо тепер загальну бокову поверхню циліндра - S  S  S , де S - площа основи
o б o
2
циліндра; S - площа бічної поверхні ємності. Оскільки S   і S  2 rh , то
r
б o б
2
S   r  2 rh .
Із останнього рівняння знайдемо
S   r 2
h 
2 r
і знайдене значення h підставимо у рівняння (6.5). У результаті будемо мати
S   r 2
V  r .
2
Таким чином, об’єм циліндра є функцією його радіуса, який необхідно визначити
шляхом максимізації V відносно r . Нехай x  . Тоді приходимо до такої задачі
r
S   x 2
max :V   x  x .
x 2
Значення x знайдемо, скориставшись необхідною умовою (5.3) існування максимуму
dV   x
V
функції   x -  0.
dx
V
З урахуванням значення функції   x будемо мати
S  3 x 2  0 .
З останнього рівняння визначимо
S
r   .
x
3
Знаючи r , знаходимо
S
h  .
3
h
Таким чином, максимальний об’єм відкритої циліндричної ємності буде за умови r  .
Враховуючи числове значення S , отримуємо r   1,843 дм.
h
3
За таких значень r і h об’єм циліндра -V  19,655 дм .
24