Page 15 - 4286

звільнює нас від складання і розв'язання системи рівнянь. СОС
найефективніший при розв'язуванні задачі Діріхле для рівняння
Лапласа в областях будь-якої форми.
Покажемо, як використовувати СОС у випадку задачі Діріхле
для рівняння Пуассона. Зокрема, це може бути задача, пов'язана з
дослідженням температурного поля при наявності джерела
/стока/.
Сформулюємо наступну задачу Діріхле. Нехай потрібно
розв’язати рівняння Пуасона

' ' ' '
U  U xx  U yy  q 12( )

з однорідними /тобто нульовими/ крайовими умовами

U Г  0 13( )

де U – шукана функція, Г – границя досліджуваної області .
q – в загальному випадку – функція, в нашому випадку – стала.
За допомогою нової функції
1 2 2
 U  q (x  y ) 14( )
4

задача (12), (13) зводиться до задачі Діріхле для рівняння Лапласа з
неоднорідними крайовими умовами

  0 , 15( )

1 2 2
 Г   q (x  y ) 16( )
4

Така задача дозволяє неоднорідність з рівнянь перенести в
крайові умови. Це дає можливість безпосередньо застосовувати
СОС до розв’язування поставленої задачі.
Знайшовши значення функції  в будь-якій досліджуваній
точці, за допомогою (14 ) перейдемо до шуканої величини .U

14