Page 178 - 4202

Потрібні ще такі похідні від цих виразів: від
першого по x , від другого по y , від третього по z
(останні знайдіть самостійно за аналогією):
  x  1 r  x r   x  r  x x  r 1 x 2
      . (10.46)
 x  r  r 2 r 2 r r 3
Для оператора Лапласа  2  V у (10.43) потрібні

похідні другого порядку. Спочатку θ V диференціюємо по
x:
   r  x
V  V   V  . (10.47)
 x  r  x  r r
Далі знаходимо другу похідну від θ V по x ,
застосовуючи у перетвореннях вирази (10.45), (10.46) і
(10.47):
2
     x     x     x    r x
V   V     V    V      V    
x 2 x  r  r x  r  r r x   r r  r  x r

2
2
  1 x    x 2 1  x 2 
 V      V    V   V . (10.48)
r   r r 3   r  2 r 2 r r  r 3 r 

Другі похідні від θ V по y і по z знайдіть самостійно,
щоб отримати ще дві складові оператора Лапласа:
2
2
    y 2 1  y 2 
V  V    V   V ;
 y 2  r 2 r 2 r  r r 3  r
(10.49)
2
2
    z 2 1  z 2 
V  V    V   V .
 z 2  r 2 r 2 r  r r 3  r
Додайте (10.48) і (10.49), застосуйте вирази (10.43) і
(10.44) та отримайте
2 2 2
  3  r    2 
2
   V   V   V  V   V . (10.50)
V 2 3 2
 r r  r r  r  r r  r
З іншого боку, знайдіть другу похідну від функції
.
r θ V :
2
   2   
r V   V  r V ; r V  r V  2 V . (10.51)
 r  r  r 2  r 2  r
177