Page 177 - 4202

Хвильове рівняння, яке описує розповсюдження
сферичної Р-хвилі пружних деформацій у
необмеженому середовищі, також можна отримати
безпосередньо з динамічних рівнянь Ламе. Рівняння
(9.25), що містить функцію об’ємної деформації
(дилатації) θ V , поділіть на густину ρ , аналогічно до
(10.21) перетворіть пружні константи Ламе та
отримайте:
2
2
2
2

  V  a 2     a 2    V    V    V , (10.43)
2

 
t 2 V    x 2  y 2  z 2  
де а – швидкість розповсюдження хвилі (10.21).
Рівняння (10.43) є хвильовим рівнянням поширення
сферичної хвилі, записане у системі прямокутних
координат. При поширенні сферичної хвилі об’ємна
деформація θ V є однаковою в усьому тонкому
сферичному шарі завдяки симетрії, а тому залежить (є
функцією) від радіуса r сфери і від часу t. Приймемо
центр виникнення сферичної хвилі за початок
координат і перетворимо рівняння (10.43) із
прямокутної у сферичну систему, пригадуючи, що
зв’язок між координатами сферичною r і
прямокутними x, y, z такий:
2
2
2
2
r  x  y  z . (10.44)
Знайдемо похідні від (10.44) по x, y і z та отримаємо
формули, необхідні для подальших перетворень
(згадайте правило диференціювання по різних
аргументах):
2
 2 (  r ) r  r   2 2 2
( r )    r 2  ; x (  y  z )  2 x 0  0  2 x
x  r  x  x  x 
.
Звідси маємо похідну від r по x. Аналогічно
самостійно знайдіть похідні від r по y і по z . У
результаті отримайте:
 r x  r y  r z
 ;  ;  . (10.45)
 x r  y r  z r

176