Page 180 - 4202
P. 180

Як  і  раніше,  ми  можемо  записати  загальний
            розв’язок:
                                                1
                         r    f  (r   , ) t a      f  (r   ) t a .   (10.53)
                           V                V
                                                r
                Знаючи  головні  деформації  (10.34)  при  сферичній
            симетрії,  виразимо  об’ємну  деформація  θ V  через
            переміщення  u  та  отримаємо  лінійне  диференціальне
            рівняння 1-го порядку:
                                         u    u    u   ;
                           V    1   2    3
                                              r  r   r
                               u  2     1
                                    u    f  (r   ) t a  .          (10.54)
                               r  r     r
                Розв’язок  u о  однорідного  рівняння  (10.54),  у  якого
            права  частина  рівна  нулю,  знаходимо  способом
            розділення змінних:
             u  2         u      r                          C  ) (t
                 u   0;       2  ;   lnu   2 lnr   C  ) (t ;   u   ,  (10.55)
             r  r         u      r                        o   r 2
            де  C(t)  –  функція  від  t,  незалежна  від  змінної
            інтегрування r.
                                          *
                Частковий  розв’язок  u   неоднорідного  рівняння
            (10.54):
                    2                  2
                     dr 1            dr    1
              *
                                            
                                                       f
             u   e  r    f ( r   at)  e   r  dr    r  ( r   at)  dr ,  (10.56)
                                             2
                         r                   r
            де  інтеграл  означає  первісну  від  підінтегральної
            функції. Прямою підстановкою перевірте, що (10.56) є
            розв’язком (10.54).
                Отже,  радіальні  переміщення  (коливання)  шарів  у
            сферичній  хвилі  визначаються  загальним  розв’язком
            рівняння (10.54)
                                      1
                                  *
                  u (r   at )   u   u       r  f  (r   ta   ) dr   (tC   )  .   (10.57)
                              o        2
                                      r
                Щоб  визначити  функцію  f(r,t),  слід  вираз  (10.57)
            підставити  у  (10.35  а),  застосувати  першу  граничну
            умову      σ r=    –    p(t)   і   позбутися     інтегралу
            диференціюванням отриманого рівняння.  З отриманого
                                        179
   175   176   177   178   179   180   181   182   183   184