Page 180 - 4202
P. 180
Як і раніше, ми можемо записати загальний
розв’язок:
1
r f (r , ) t a f (r ) t a . (10.53)
V V
r
Знаючи головні деформації (10.34) при сферичній
симетрії, виразимо об’ємну деформація θ V через
переміщення u та отримаємо лінійне диференціальне
рівняння 1-го порядку:
u u u ;
V 1 2 3
r r r
u 2 1
u f (r ) t a . (10.54)
r r r
Розв’язок u о однорідного рівняння (10.54), у якого
права частина рівна нулю, знаходимо способом
розділення змінних:
u 2 u r C ) (t
u 0; 2 ; lnu 2 lnr C ) (t ; u , (10.55)
r r u r o r 2
де C(t) – функція від t, незалежна від змінної
інтегрування r.
*
Частковий розв’язок u неоднорідного рівняння
(10.54):
2 2
dr 1 dr 1
*
f
u e r f ( r at) e r dr r ( r at) dr , (10.56)
2
r r
де інтеграл означає первісну від підінтегральної
функції. Прямою підстановкою перевірте, що (10.56) є
розв’язком (10.54).
Отже, радіальні переміщення (коливання) шарів у
сферичній хвилі визначаються загальним розв’язком
рівняння (10.54)
1
*
u (r at ) u u r f (r ta ) dr (tC ) . (10.57)
o 2
r
Щоб визначити функцію f(r,t), слід вираз (10.57)
підставити у (10.35 а), застосувати першу граничну
умову σ r= – p(t) і позбутися інтегралу
диференціюванням отриманого рівняння. З отриманого
179