Page 180 - 4202

Як і раніше, ми можемо записати загальний
розв’язок:
1
r  f (r  , ) t a   f (r  ) t a . (10.53)
V V
r
Знаючи головні деформації (10.34) при сферичній
симетрії, виразимо об’ємну деформація θ V через
переміщення u та отримаємо лінійне диференціальне
рівняння 1-го порядку:
         u  u  u ;
V 1 2 3
 r r r
 u 2 1
 u  f (r  ) t a . (10.54)
 r r r
Розв’язок u о однорідного рівняння (10.54), у якого
права частина рівна нулю, знаходимо способом
розділення змінних:
u 2 u  r  C ) (t
 u  0;  2 ; lnu  2 lnr  C ) (t ; u  , (10.55)
r r u r o r 2
де C(t) – функція від t, незалежна від змінної
інтегрування r.
*
Частковий розв’язок u неоднорідного рівняння
(10.54):
2 2
  dr 1  dr  1
*

f
u  e r  f ( r  at) e  r dr   r  ( r  at)  dr , (10.56)
   2
 r  r
де інтеграл означає первісну від підінтегральної
функції. Прямою підстановкою перевірте, що (10.56) є
розв’язком (10.54).
Отже, радіальні переміщення (коливання) шарів у
сферичній хвилі визначаються загальним розв’язком
рівняння (10.54)
1
*
u (r  at )  u  u     r f (r  ta  ) dr  (tC  ) . (10.57)
o 2
r
Щоб визначити функцію f(r,t), слід вираз (10.57)
підставити у (10.35 а), застосувати першу граничну
умову σ r= – p(t) і позбутися інтегралу
диференціюванням отриманого рівняння. З отриманого
179