Page 173 - 4202

E  u u 
     . (10.35 б)
t 1 (   1()  )2  r r 
 
Підставте ці формули у (10.33) і отримайте таке
рівняння:
 2 u 2  u 2u 1  2 u
     . (10.36)
r  2 r r  r 2 a 2 t  2
Диференціальне рівняння (10.36) та хід його
розв’язання можна спростити, якщо представити
функцію u як похідну від певної функції φ (функція φ
має бути первісною для функції u):

u  . (10.37)
r 

Таку функцію φ називають потенціалом
переміщення. Підставивши (10.37) у (10.36), то
отримаємо
2
2
 1  (r  )   1   
        . (10.38)



r  r r 2  r  a 2 t 2 
Перевірте самостійно, що рівняння (10.36)
утворюється із рівняння (10.38), виконавши тут
диференціювання складних функцій (розкривши дужки)
з урахуванням (10.37). Як бачимо, у (10.38) зліва і
справа є похідна по r , яку можна позбутися
інтегруванням; при цьому виникає функція
інтегрування F(t) :
2
1  2 (r ) 1  
    F ) (t (10.39)
r r  2 a 2 t  2
(якщо знову взяти похідну від (10.39) по r , то похідна
від F(t) по r буде рівна 0, бо F(t) не залежить від r ).
Якщо функція F(t) не рівна нулю, то треба шукати
частковий розв’язок рівняння (10.39), який, як і F(t) , теж
*
буде функцією від t, наприклад φ (t) . Але на
переміщення u, яке нас цікавить, вона не впливає, бо
172