Page 175 - 4202

 2 (r )  2 (r )
 a , (10.40)
t  2  r 2
яке описує сферичну Р-хвилю у необмеженому
середовищі, що розповсюджується зі швидкістю а
(10.21).
Як ми з’ясували у п. 10.4, подібно до (10.13)
хвильове рівняння (10.40) має загальний розв’язок у
формі Д’Аламбера
r  f (r  ) t a  g (r  ) t a , (10.41)
де функція f ( r – a t ) стосується хвилі, яка
розповсюджується від центра сфери, а g ( r – a t ) –
хвилі, яка сходиться до центра суцільної кулі скінчених
розмірів після раптового прикладання тиску рівномірно
по усій її зовнішній сферичній поверхні.
Нас цікавить хвиля, яка йде у товщі земної кори від
локалізованого центра землетрусу, тому приймемо до
розгляду лише першу функцію, а за (10.37) знайдемо
переміщення u:
1  1 1  f
  f  r   t a ; u     f   . (10.42)
r  r r 2 r  r

Знаючи функцію f(r,t), за (10.42) зможемо знайти
переміщення u(r,t), за (10.34) – деформації, а за (10.35) –
напруження у будь-якій точці суцільного середовища на
відстані r від центру хвилі у момент часу t від початку її
розповсюдження.
При цьому f(r,t) повинна задовільняти граничним
умовам, у першу чергу, на поверхні сферичної
порожнини радіуса r 0. Тому треба знати або задати
*
функцію u (t) радіальних переміщень цієї сфери у часі,
яку треба підставити у диференціальне рівняння (10.42).
При його інтегруванні з’являється функція від r, для
визначення якої слід використати другу граничну
умову, що на нескінченості переміщення ще відсутні.
Початкові умови у тому, що у момент часу t=0 у
нескінченому середовищі скрізь рівні нулю
переміщення і швидкості частинок.
174