Page 9 - 2587

тобто ВКФ є середнім у часі значенням добутку першої функції
на зміщену відносно неї на час запізнення  другу функцію.
Отже, взаємна спектральна щільність (ВСЩ) двох

стаціонарних процесів може бути визначена в такий спосіб:


S ( f )  R (  e)  j 2( f  )  d (1.17)
12 12
 
При числових розрахунках, коли обидва процеси x (t ) і
1
x (t ). задані на визначеному обмеженому проміжку T часу своїми
2
значеннями в деяких точках, розділених дискретом часу Ts ,
формулу (1.16) можна трансформувати в таку:
1 n l
R (l )   x (m )x (m  l  ( , ) 1 l  2 , 1 ,...,n ) 2 / (1.18)
12 1 2
n  l m 1
чи в дещо більш просте співвідношення:
2 2 / n
R (l )   x (m ) x (m  l  ( , ) 1 l  2 , 1 ,...,n ) 2 / (1.19)
12 1 2
n m 1
а замість (1.17) використовувати

2 / n
S (k )  Ts   R (l  ) e  (j 2  / n )(k  )(1 l  )1 ( , k  2,1 ,...,n ) 2 / (1.20)
12 12
l 1
Якщо тепер підставити вираз (1.19) у (1.20) і змінити в ньому
порядок сумування, то можна прийти до такого співвідношення
між ВСЩ і результатами перетворень процедурою fft заданих

виміряних значень процесів:
 2 
S (k ) Ts   y (k )  y (k ), , (k = 1,2,..., n/2) (1.21)

12 2 1
 n 
де риска зверху означає комплексне спряження відповідної

величини.
З врахуванням (1.14) і (1.15) вираз (1.21) можна представити
також у виді:

S (k )  X * (k ) X (k ) (1.22)
12 2 1
З цього випливає, что взаємна спектральна щільність

двох процесів при будь-якому значенні частоти дорівнює
добутку значення комплексного спектра другого процесу на

комплексно-спряжене значення Фур'є-зображення першого
процесу на тій же частоті.
Формули (1.14), (1.15) і (1.21) є основою для обчислень у
системі MATLAB відповідно Фур'є-зображення процесу, його

комплексного спектру і взаємної спектральної щільності двох
процесів.

9