Page 6 - 2587

a
*
X ( m ) m e j m , (1.4)
2

то величина а буде являти собою амплітуду гармонійної
т
складової з частотою f =m*f, а  — початкову фазу цієї
m
т
гармоніки, що має форму косинусоїди, тобто вихідний процес
можна також записати у виді:


x (t )  a   a cos( t   ) (1.5)
0 m m
m 1

який, власне, і називають рядом Фур'є.
Для дійсних процесів справедливі наступні співвідношення:

Re  ( mX  )  Re  (mX   (Im; ) X  m  )   Im  (mX  ) (1.6)

тобто дійсна частина спектра є парною функцією частоти, а

уявна частина спектра — непарною функцією частоти.
Розкладання (1.5) і (1.1) дозволяють розглядати сукупність
комплексних амплітуд (1.2) як зображення періодичного процесу

в частотній області. Бажання поширити такий підхід на довільні
процеси, у тому числі і неперіодичні, привело до необхідності
введення поняття Фур'є-зображення у відповідності з наступним

виразом:


X ( f )  x( t) e  j 2(  tf ) dt (1.7)
 

Цей інтеграл, незважаючи на його зовнішню подібність до
виразу (1.2) для комплексних коефіцієнтів ряду Фур'є, досить
істотно відрізняється від них.

По-перше, у той час як фізична розмірність комплексної
амплітуди збігається з розмірністю самої фізичної величини (tx ,
)
розмірність Фур'є-зображення дорівнює розмірності x (t ),

помноженої на розмірність часу.
По-друге, інтеграл (1.7) існує (збігається до скінченної
величини) тільки для так званих «двостороннє загасаючих»

процесів (тобто таких, котрі зменшуються до нуля , як при t ,
так і при t . Інакше кажучи, його не можна застосовувати
до так називаних "стаціонарних" коливань.
Зворотнє перетворення Фур'є-зображення у вихідний процес

x (t ) у цьому випадку визначається інтегралом:

6